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Artigos

Integrais duplas como áreas e volumes


Áreas


A integral dupla sobre uma região D pode ser interpretada como o volume abaixo de uma superfície z=f(x,y) sobre a região D. Quando f(x,y)=1 a integral dupla fornece a área A da região D que é dada pela integral dupla

\begin{align*}A=\iint_D dA.\end{align*}

Exemplo 1: Calcule a área da região limitada pela parábola x=y^2 e a reta x=y.

Esta área é mostrada na figura abaixo:

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Figura 1

A região cuja área deve ser calculada é:

0 \le y \le 1\,\,\,\,e\,\,\,\,y \le x \le y^2.

Assim, a área da da região será:

\begin{align*}\int_0^1 \int_{y^2}^y dx\, dy &= \int_0^1 \left( \left. x\right|_{x=y^2}^{x=y}\right) dy\\&= \int_0^1 (y-y^2) dy\\&= \biggl[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}\biggr]_0^1\\&=\frac1{2}-\frac1{3} = \frac1{6}.\end{align*}

Exemplo 2: Calcule a área da região R:

R=\{(x,y)\in{R^2}|(x-1)^2+y^2\leq{1},\,\,\,x^2+y^2\geq{1}\}


Um esboço da área é mostrada na figura:



Fazendo as mudanças de coordenadas retangulares para as coordenadas polares,




Encontrando a interseção das regiões


Escrevemos a região nas novas coordenadas



Assim, a região R em coordenadas polares é dada por:

Finalmente, podemos calcular a área da região R que é o resultado da integral dupla






Volumes


Se

f(x,y) > g(x,y)

podemos interpretar a integral dupla

\begin{align*}\iint_D(f(x,y)-g(x,y))\,dA\end{align*}

como o volume definido pela região em 3D delimitada pelas superfícies f(x,y)\,\,\,\,e\,\,\,\,g(x,y).


Exemplo 1:

Calcular o volume delimitado pela superfície z=3+x^2-y e a região D dada por 0\le x\le 1\,\,\,\,e\,\,\,\,-x\le y\le{x}


O volume é a integral dupla sobre a região D abaixo:

\begin{align*}V &= \iint_{D} (3+x^2-2y)dx\,dy\\&= \int_0^1 \int_{-x}^x (3+x^2-2y) dy\, dx\\&= \int_0^1 \left(3y+x^2y-y^2\Big|_{y=-x}^{y=x}\right) dx\\&= \int_0^1 (6x+2x^3) dx\\&= 3x^2 +\frac{1}{2}x^4 \Big|_0^1 = 3\frac{1}{2}\end{align*}


Exemplo 2:

Calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies

f(x,y)=3-x^2-y^2\,\,\,\,e\,\,\,\,g(x,y)=2x^2+2y^2

Devemos encontrar inicialmente a interseção das superfícies o que ocorre quando f(x,y)=g(x,y), isto é,

\begin{align*}f(x,y) &= g(x,y)\\3-x^2-y^2 &= 2x^2+2y^2\\3 &= 3x^2+3y^2\\1 &= x^2+y^2.\end{align*}

Esta interseção é um círculo centrado na origem e raio 1, ou seja, a região D de integração é o disco x^2+y^2 \le 1.

O volume é dado por

\begin{align*}V &=\iint_{D} (f(x,y)-g(x,y)) dx\,dy=  \iint_{D} (3 - 3x^2-3y^2)dx \, dy.\end{align*}   
que fica fácil de calcular se usarmos coordenadas polares. Escrevendo o disco D como

-1\le x \le 1 \,,\,\,-\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}

vemos que em coordenadas polares o mesmo disco será

0 \le x \le 1\,\,\,e\,\,\,0 \le \theta \le 2\pi.

Assim, o volume procurado é o resultado da integral calculada dado por

\begin{align*}V &= \iint_{D}(3 - 3x^2-3y^2)dx \, dy\\&= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (3 - 3r^2)r\,dr\,d\theta\\&=\int_0^{2\pi} \left(\frac{3}{2}r^2 - \frac{3}{4}r^4 \Big|_{r=0}^{r=1}\right)d\theta\\&=\int_0^{2\pi} \frac{3}{4} d\theta = \frac{3\pi}{2}. \end{align*}
Agora, o leitor deve fazer mais exercícios para fixar melhor os conteúdos.






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